在R4中，求由向量a₁,a₂,a₃,a₄生成的线性子空间的维数和一组基

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• Option Base 1Private Sub Command1_Click()Dim a$(), s$s = InputBox(\请输入用英文逗号分开的数据\)a = Split(s, \,\)Print a(Ubound(a)+Lbound(a)-1)End Sub程序运行后，单击命令按钮，在输入对话框中输入12,A,2,b,c则输出结果是（）。

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• 判断下列命题（或说法)是否正确，为什么？（1)如果向量可由向量组a₁，a₂，a₃线性表示，

  判断下列命题(或说法)是否正确，为什么？ (1)如果向量<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-29/978117741864189.png' />可由向量组a₁，a₂，a₃线性表示，即<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-29/978117757807101.png' />则表示系数k₁，k₂，k₃不全为零; (2)若向量组a₁，a₂，…，a_n是线性相关的，则a₁一定可由<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-29/978117786374735.png' />线性表示; (3)若向量组a₁，a₂线性相关，向量组<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-29/978117741864189.png' />1，<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-29/978117741864189.png' />2线性相关，则有不全为零的数k₁，k_{2<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-29/978117834069463.png' />}线性相关; (4)如果存在不全为零的数k₁，k₂，…，k_n使<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-29/97811786304412.png' />则向量组，a₁，…，a_n线性无关; (5)若a₁，a₂，a₃在线性无关a₂，a₃，a₁线性相关，则a₁不可a₁，a₂，a₃线性表示。

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• 8086/8088CPU在总线周期的T₁时刻，用A₁₉/S₆～A₁₆/S₃输出（）位地址信息的最高（）位，而在其他时钟周期，则输出（）信息

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• 设α，β，γ₁，γ₂均为3维行向量，矩阵已知|A|=18，|B|=2，求|A-B|。

  设α，β，γ₁，γ₂均为3维行向量，矩阵<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-10-22/972229266040196.png' />已知|A|=18，|B|=2，求|A-B|。

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• 设且|A|=-1,Aⁿ是A的伴随矩阵,Aⁿ有特征值λ₀,对应于λ₀的特征向量为ξ=[-1,-

  设<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-03-05/983803880284013.png' />且|A|=-1,Aⁿ是A的伴随矩阵,Aⁿ有特征值λ₀,对应于λ₀的特征向量为ξ=[-1,-1,1]^T,求a,b,c及λ₀.

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• 与向量a₁=[2,-1,-3].a₂=[-3,1.5]都正交的单位向量β^o=______.

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• 已知4维列向量组a₁,a₂,a₃,a₄线性无关,则下列向量组中线性无关的是（).

  A.<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-03-04/983720893957208.png' /> B.<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-03-04/983720900590587.png' /> C.<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-03-04/983720906678935.png' /> D.<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-03-04/983720913180307.png' />

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• 设λ₁;λ₂是A的两个不同的特征值,ξ是对应于λ₁的特征向量,证明:ξ不是λ₂的特征向量(即一个特征向量不能属于两个不同的特征值)

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• 已知向量组A：α₁，α₂，α₃，α₄的秩R_A=3，向量组B：α₁，α₂，α₃，α₅的秩R_B=4，证明：向量组C：α₁，α₂，α₃，α₄，α₅的秩R_C=4。

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• 设A=（a_ij)是m×n矩阵，β=（b₁，b₂，···，b_n)是n维行向量，如果方程组（I)Ax=0的解全是

  设A=(a_ij)是m×n矩阵，β=(b₁，b₂，···，b_n)是n维行向量，如果方程组(I)Ax=0的解全是方程(II)b₁x₁+b₂x₂+···+b_nx_n=0)的解，证明β可用A的行向量α₁，α₂，···，α_m线性表出。

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• 在空间右手直角坐标系中，两个非零向量α，β的坐标分别为（a₁，a₂，0)，（b₁，b₂，0)。（1

  在空间右手直角坐标系<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-10-27/972644495940704.png' />中，两个非零向量α，β的坐标分别为(a₁，a₂，0)，(b₁，b₂，0)。 (1)求以a，β为邻边的平行四边形的面积，并且把结果用一个行列式表示; (2)求以a，β为两边的三角形的面积，并且把结果用一个行列式表示。

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• 设向量组A:a₁,a₂;B:a₁,a₂,a₃;C:a₁,a₂,a₄的秩为R_A=R<sub>B⌘

  设向量组A:a₁,a₂;B:a₁,a₂,a₃;C:a₁,a₂,a₄的秩为R_A=R_B=2,R_c= 3,求向量组D:a₁,a₂.2a₃- 3a₄的秩.

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• 设V是数域K上的一个线性空间,f₁,…,f_s是V的s个非零线性函数，证明:存在向量a∈V,使f_i（α)≠0,i=1,…,s

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• 设A为n阶矩阵,证明:当k₁≠0,k₂≠0时,k₁ξ₁=k₂ξ₂不是A的特征向量.

  设A为n阶矩阵,<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-03-05/983793334730841.png' />证明:当k₁≠0,k₂≠0时,k₁ξ₁=k₂ξ₂不是A的特征向量.

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• 判断下述向量组a₁,a₂,a₃,a₄是否线性无关。a1=（1,1,1,1),a2=（1,-1,1,-1)a3=（1,1,-1,-1),a4=（1,-1,-1,1)

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• 如果向量组α₁，α₂，···，α_s的秩为s，则向量组α₁，α₂，···，α_s中任一部分组都线性无关。（)

  此题为判断题(对，错)。

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• 设向量组B：b₁，b₂，…，b_r能由向量组A：a₁，a₂，…a_r线性表示为（b₁，b<sub>2⌘

  设向量组B：b₁，b₂，…，b_r能由向量组A：a₁，a₂，…a_r线性表示为(b₁，b₂，…，b_r)=(a₁，a₂，…，a_r)K，其中K为s×r矩阵，且A组线性无关。证明B组线性无关的充要条件是矩阵K的秩R(K)=r。

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• 设A是数域K上的n级矩阵。证明:如果|A|≠0,那么A的列向量组a₁,a₂,...,a_n是Kⁿ（由列向量组成)的一个基:A的行向量组γ₁,γ₂,...,γ_n是Kⁿ（由行向量组成)的一个基。

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• 在K⁴中，求由基ξ₁,ξ₂,ξ₃,ξ₄到基η₁,η₂,η₃,η₄的过渡矩阵，并求向量α在指定基下的坐标

  (1)ξ₁=(1,0,0,0),ξ₂=(0,1,0,0),ξ₃=(0,0,1,0),ξ₄=(0,0,0,1);η₁=(2,1,-1,1),η₂=(0,-1,1,0),η₃=(-1,-1,2,1),η₄=(2,1,1,3);α=(x₁,x₂,x₃,x₄)在η₁,η₂,η₃,η₄下的坐标 (2)ξ₁=(1,2,-1,0),ξ₂=(1,-1,1,1),ξ₃=(-1,2,1,1),ξ₄=(-1,-1,0,1);η₁=(2,1,0,1),η₂=(0,1,2,2),η₃=(-3,-1,-1,1),η₄=(1,3,1,2);α=(1,0,0,0)在ξ₁,ξ₂,ξ₃,ξ₄下的坐标 (3)ξ₁=(1,1,1,1),ξ₂=(1,1,-1,-1),ξ₃=(1,-1,1,-1),ξ₄=(1,-1,-1,1);η₁=(1,1,0,1),η₂=(2,1,2,1),η₃=(1,1,1,0),η₄=(0,1,-1,-1);α=(1,0,0,-1)在η₁,η₂,η₃,η₄下的坐标

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• 已知两个向量组α₁=（1，2，3)，a₂=（1，0，1)与β₁=（-1，2，t)，β₂=（4，1，5)，问t取何值时，两个向量组等价？并写出等价时的线性表示式

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• 设λ₁,λ₂都是n阶矩阵A的特征值,λ₁≠λ₂,,且a₁与a₂分别是A的对应于λ₁与λ₂的特征向量,则（).

  A.c₁=0且c₂=0时,a=c₁a₁+c₂a₂必是A的特征向量 B.c₁≠0且c₂≠0时,a=c₁a₁+c₂a₂必是A的特征向量 C.c₁,c₂=0时,a₁=c₁a₁+c₂a₂必是A的特征向量 D.c₁≠0而c₂=0时,a=c₁a₁+c₂a₂必是A的特征向量

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• 设3（a₁-a)+2（a₂+a)=5（a₃+a),其中a=（2,5,1,3)^T,a₂=（10,1,5,10)^T,a₃=（4,1,-1,1)^T.求a向量由另外三个向量的线性表示.

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• 如果向量组a₁,a₂,...,a_s可由向量组β₁,β₂,...,β_t,线性表出，求证：

  <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-16/966459622838793.png' />

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• 判定下列向量组是线性相关还是线性无关.（1)a₁=（1,0,-1), a₂=（-2, 2, 0), a₃= （3, - 5, 2)（2) a₁=（1, 1, 3, 1),a₂=（3,-1, 2, 4), a₃= （2, 2, 7, - 1)

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