如果向量组a₁,a₂,...,a_s可由向量组β₁,β₂,...,β_t,线性表出，求证：

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  设α，β，γ₁，γ₂均为3维行向量，矩阵<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-10-22/972229266040196.png' />已知|A|=18，|B|=2，求|A-B|。

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• 设证明向量组α₁，α₂，···，α_n与向量组β₁，β₂，···，β_n等价。

  设<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-09-27/970069717807.jpg' />证明向量组α₁，α₂，···，α_n与向量组β₁，β₂，···，β_n等价。

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• 与向量a₁=[2,-1,-3].a₂=[-3,1.5]都正交的单位向量β^o=______.

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• 已知4维列向量组a₁,a₂,a₃,a₄线性无关,则下列向量组中线性无关的是（).

  A.<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-03-04/983720893957208.png' /> B.<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-03-04/983720900590587.png' /> C.<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-03-04/983720906678935.png' /> D.<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-03-04/983720913180307.png' />

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• 设λ₁;λ₂是A的两个不同的特征值,ξ是对应于λ₁的特征向量,证明:ξ不是λ₂的特征向量(即一个特征向量不能属于两个不同的特征值)

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• 已知向量组A：α₁，α₂，α₃，α₄的秩R_A=3，向量组B：α₁，α₂，α₃，α₅的秩R_B=4，证明：向量组C：α₁，α₂，α₃，α₄，α₅的秩R_C=4。

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  设向量组<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-19/974634951593063.png' /><img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-19/974634969414082.png' />的秩为r₁，向量组 的秩为r₂，向量组<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-19/974634951593063.png' /><img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-19/974634969414082.png' /> 的秩为r₃，试证： <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-19/974635084041638.png' />

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  在空间右手直角坐标系<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-10-27/972644495940704.png' />中，两个非零向量α，β的坐标分别为(a₁，a₂，0)，(b₁，b₂，0)。 (1)求以a，β为邻边的平行四边形的面积，并且把结果用一个行列式表示; (2)求以a，β为两边的三角形的面积，并且把结果用一个行列式表示。

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  设向量组A:a₁,a₂;B:a₁,a₂,a₃;C:a₁,a₂,a₄的秩为R_A=R_B=2,R_c= 3,求向量组D:a₁,a₂.2a₃- 3a₄的秩.

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  设A为n阶矩阵,<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-03-05/983793334730841.png' />证明:当k₁≠0,k₂≠0时,k₁ξ₁=k₂ξ₂不是A的特征向量.

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  已知ξ₁,ξ₂是A的对应于λ的特征向量,问k₁ξ₁=k₂ξ₂(k₁,k₂是任意常数)是否属于A的对应于λ的特征向量？

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• 判断下述向量组a₁,a₂,a₃,a₄是否线性无关。a1=（1,1,1,1),a2=（1,-1,1,-1)a3=（1,1,-1,-1),a4=（1,-1,-1,1)

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• 在R4中，求由向量a₁,a₂,a₃,a₄生成的线性子空间的维数和一组基

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• 如果向量组α₁，α₂，···，α_s的秩为s，则向量组α₁，α₂，···，α_s中任一部分组都线性无关。（)

  此题为判断题(对，错)。

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  设向量组B：b₁，b₂，…，b_r能由向量组A：a₁，a₂，…a_r线性表示为(b₁，b₂，…，b_r)=(a₁，a₂，…，a_r)K，其中K为s×r矩阵，且A组线性无关。证明B组线性无关的充要条件是矩阵K的秩R(K)=r。

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  设3阶对称阵A的特征值为λ₁=1，λ₂=-1，λ₃=0;对应λ₁，λ₂的特征向量依次为p₁=(1，2，2)^T，p₂=(2，1，-2)^T，求A。

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• 设A是数域K上的n级矩阵。证明:如果|A|≠0,那么A的列向量组a₁,a₂,...,a_n是Kⁿ（由列向量组成)的一个基:A的行向量组γ₁,γ₂,...,γ_n是Kⁿ（由行向量组成)的一个基。

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• 设λ₁,λ₂都是n阶矩阵A的特征值,λ₁≠λ₂,,且a₁与a₂分别是A的对应于λ₁与λ₂的特征向量,则（).

  A.c₁=0且c₂=0时,a=c₁a₁+c₂a₂必是A的特征向量 B.c₁≠0且c₂≠0时,a=c₁a₁+c₂a₂必是A的特征向量 C.c₁,c₂=0时,a₁=c₁a₁+c₂a₂必是A的特征向量 D.c₁≠0而c₂=0时,a=c₁a₁+c₂a₂必是A的特征向量

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• 设3（a₁-a)+2（a₂+a)=5（a₃+a),其中a=（2,5,1,3)^T,a₂=（10,1,5,10)^T,a₃=（4,1,-1,1)^T.求a向量由另外三个向量的线性表示.

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• 判定下列向量组是线性相关还是线性无关.（1)a₁=（1,0,-1), a₂=（-2, 2, 0), a₃= （3, - 5, 2)（2) a₁=（1, 1, 3, 1),a₂=（3,-1, 2, 4), a₃= （2, 2, 7, - 1)

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