已知R²的线性变换

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• 如题图所示，有一u形渠道，已知半径，r=0．22m，圆心半角θ=82°，圆弧切点以上梯形断面的外倾角为β=8°，已知跃前断面水深h₁=0.05m，通过的流量Q=0.04m³/s，试求跃后水深h₂。

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• 某抛物线形渠道y=0.016r²,已知正常水深h₀=3m,底坡i=0.00052,粗糙系数n=0.025.求流量Q0

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  已知氮气的摩尔质量M=28.1x10^-3kg/mol,求: (1)N₂的气体常数R_g; (2)标准状态下N₂的比体积v₀和密度ρ₀; (3) 标准状态1m³N₂的质量m₀; (4)p=0.1MPa, t=500°C时N₂的比体积v和密度ρ; (5)上述状态下的摩尔体积V_m。

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  已知R²的两组基<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-29/97811989498234.png' />和<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-29/978119905128921.png' />求非零向量<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-29/978119917019601.png' />使得β关于这两组基有相同的坐标，并求β关于基<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-29/978119926836162.png' />的坐标，其中 <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-29/97811993588768.png' />

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• 证明：σ（x₁，x₂)=（x₂，-x₁)，τ（x₁，x₂)=（x₁，-x₂)是数域F²的两个线性变换，并求σ+τ，στ，τσ。

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  设A是实数域上的一个mXn矩阵,m＞n,β∈R^m，如果X₀∈Rⁿ使得<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-03/96529974160306.png' />那么称X₀是线性方程组AX=β最小二乘解。证明:X₀是AX=β的最小二乘解当且仅当X₀是线性方程组 A'AX=A'β的解

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  1)已知半径为r的圆的面积与周长分别是f(r)=πr²与g(r)=2πr,f´(r)=g(r).这个事实说明了什么？ 2)已知半径为r的球的体积与面积分别是<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-11/973965491926855.png' />与A(r)=4πr²,V'(r)=A(r).这个事实说明了什么？

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• 线性方程Ax=B的解为x=A^-3B，（A B)经行变换可得到（E A^-1B)，矩阵方程xA=B的解为x=BA

  线性方程Ax=B的解为x=A^-3B，(A B)经行变换可得到(E A^-1B)，矩阵方程xA=B的解为x=BA^-1，<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-26/975229836735006.png' />经列变换得到<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-26/975229847362615.png' />利用初等变换解矩阵方程。 <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-26/975229871904018.png' />

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• 三元非齐次线性方程组Ax=b的两个特解为η₁=（1，2，2)^T，η₂=（0，1，1)^T且r（A)=2，则方程组Ax=b的全部解为（)。

  A.x=c₁η₁+c₂η₂(c₁，c₂为任意常数) B.x=η₁+cη₂(c为任意常数) C.x=η₂+c(η₁-η₂)(c为任意常数) D.x=η₁-cη₂(c为任意常数)

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• 一个3级线性反馈移存器,已知其特征方程为f（x)=1+x²+x³试验证它为本原多项式。

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• 证明下面的线性规划问题要么无解，要么最优目标函数值为零，其中c∈Rⁿ，b∈R^m，A为mxn矩阵。

  <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-29/980789425496777.jpg' />

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• 对积分进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分:（1)当D为由不等式a²≤x²+y卐

  对积分<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-06/978807191352268.png' />进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分: (1)当D为由不等式a²≤x²+y²≤b²,y≥0所确定的区域. (2)D={(x,y)|x²+y²≤y,x≥0l}; (3)D={(x,y)|0≤x≤1,0＜x+y≤1}

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• 一条半径r₁=3.0x10^-3m的小动脉被一硬斑部分阻塞，此狭窄处的有效半径r₂=2.0x10^-3m, 血流平均速度ʋ=0.50m/s.已知血液黏度η=3.00×10^-3Pa·s, 密度ρ=1.05x10³kg/m³.试求：(1)未变狭窄处的平均血流速度是多少？(2)狭窄处会不会发生湍流？(3)狭窄处的血流动压强是多少？

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• 已知y₁=xe^x+e^2x,y₂=xe^x+e^-x,y₃=xe^x+e^2x-e^-x是某二阶非齐次线性微分方程的三个解,求此微分方程.

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• 设ξ₁，ξ₂，ξ₃是R³的一组基，已知证明α₁，α₂，α₃是R³的一组基，

  设ξ₁，ξ₂，ξ₃是R³的一组基，已知<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-10-23/972301330558548.png' />证明α₁，α₂，α₃是R³的一组基，并求出向量β=6ξ₁-ξ₂-ξ₃在基α₁，α₂，α₃下的坐标。

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• 已知导轮直径为300mm，导轮转速为70r/min，导轮倾斜角为2^o，试求工件圆周速度和纵向进给速度。

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• 设R为实数域在它自身上的线性空间，R⁺为第3题（4)中的向量空间.作出同构映射以证明:R与R⁺同构.

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• 令σ是数域F上向量空间V的一个线性变换，并且满足条件σ²=σ。证明：（i)Ker（σ)=（ξ-σ（ξ)|ξ∈V};（ii)V=Ker（σ)⊕Im（σ);（iii)如果τ是V的一个线性变换，那么Ker（σ)和Im（σ)都在τ之下不变的充要条件是στ=τσ。

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• 已知齐次线性方程x2y"-xy'+y=0的通解为Y（x)=C₁x+C₂x·In|x|,求非齐次线性方程x²y"-xy'+y=x的通解.

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• 已知a₁=[1,0,1,0]^T.a₂=[2,2,a,2]^T,a₃=[3,1.1,1]^T,β=[4,-1,6,b]^T,问a,b取何值时,β不能由a₁,a₂,a₃线性表出？取何值时能够线性表出？当β能由a₁,a₂,a₃线性表出时,写出其表出式.

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• 已知单位反馈系统开环传递函数为G（s)H（s)=7/s（s+4)（s²+2s+2)，试求出当输入信号为心r（t)=1（t)+3t时系统的稳态误差。

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• 求R³的一个线性变换A,满足。

  求R³的一个线性变换A,满足<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-07-27/964707825490004.png' />。

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• 气相反应2NO₂+F₂→2NO₂F,已知300K时,当2.00molNO₂和3.00molF₂在400dm³的反应签中混合,k=38.0mol^-1·dm³·s^-1,反应速率方程为r=k[NO₃][F₂],试计算10s后NO₂、F₂、NO₂F在反应釜中物质的量.

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• 已知25℃时,HgO（s)的Δ_rG=-58.5kJ·mol^-1,电池（Pt)H₂（p^θ)|KOH（aq)|HgO（s)-H

  已知25℃时,HgO(s)的Δ_rG<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-23/977583267329098.png' />=-58.5kJ·mol^-1,电池(Pt)H₂(p^θ)|KOH(aq)|HgO(s)-Hg(l)的E^θ=0.926V,水的离子积K<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-23/977583302410104.png' />=10^-14.求OH^-的标准摩尔生成吉布斯自由能Δ_rG<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-23/977583267329098.png' />;

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