设A是实数域上的一个mXn矩阵,m＞n,β∈R^m，如果X₀∈Rⁿ使得那么称X₀是线性方程

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• 设mXn矩阵A的秩等于n,则必有（).

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• 证明下面的线性规划问题要么无解，要么最优目标函数值为零，其中c∈Rⁿ，b∈R^m，A为mxn矩阵。

  <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-29/980789425496777.jpg' />

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• 设A是一个m行的矩阵，秩A=r，从A中任取出s行，作一个s行的矩阵B，证明：秩B≥r+s-m。

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• 设矩阵A为mXn矩阵，B为n阶矩阵.已知r（A) =n,试证:（1)若AB=O,则B=0.（2)若AB = A,则B=I.

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  设R为实数环，M₂(Z)为2阶实数矩阵环，那么在它们的直积<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-22/977480526468952.jpg' />中，<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-22/977480545087017.jpg' />=()。

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• 若A={x│x²-5x+6=0},B={x│ax-6=0},且A∪B=A,求由实数a组成的集合C. 设集合U={（x，y）│x∈R，y∈R}，A={(x,y) │2x-y+m＞0}，B={(x，y)│x+y-n≤0}，若点P（2,3）∈A∩（CuB），则实数m，n的取值范围分别是——和——

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• 设A为m×n的矩阵，m＜n，R（A)=m。则下列结论正确的是（）

  A．A的行向量组线性相关； B．A的行向量组线性无关； C．A的行向量组的线性相关性不确定； D．A的列向量组线性无关； E．A的列向量组线性相关； F．A的列向量组的线性相关性不确定。

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• 设矩阵A为m×n的矩阵，R（A)=r＜n，则Ax=0有（）个解，有（）个线性无关的解

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• 设A是m×n（m≤n)矩阵，证明r（A)=m的充要条件是存在n×m矩阵B，使AB=E_m。

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• 设A是一个mxn矩阵，秩A=r，从A中任意划去m-s行与n-t列，其余元素按原来位置排成一个sxt矩阵C。证明：秩C≥r+s+t-m-n。

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• 设A是实数域上的n级矩阵,证明:如果A可逆,那么A可以惟一地分解成正交矩阵T与主对角元都为正数的上三角矩阵B的乘积:A=TB。

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• 设A是m×n矩阵，B是m×s矩阵，若矩阵方程AX=B有解，证明：r（A)≥r（B)。

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• 设A是m×n矩阵，证明存在n×s非零矩阵B，使得AB=O的充分必要条件是r（A)＜n。

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  设A是m×n矩阵，r(A)=r＜n是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，而对应导出组Ax=0的一个基础解系为ξ₁，ξ₂，…，ξ_n-r。证明：η₀，η₀+ξ₁，η₀+ξ₂，…，η₀+ξ_n-r是方程组Ax=b的n-r+1个线性无关的解。

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• 证明:如果实数域上的n级矩阵A与B不相似,那么把它们看成复数域上的矩阵后仍然不相似。

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• 设A是实数域上mXn列满秩矩阵,m＞n,A的列空间记作U.记P_A=A（A'A)^-1A'。,令证明

  设A是实数域上mXn列满秩矩阵,m＞n,A的列空间记作U.记P_A=A(A'A)^-1A'。,令 <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-03/965299846450057.png' /> 证明:P_A是R^m在U上的正交投影。

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