设R₁和R₂是非空集合A上的等价关系,确定下述各式,哪些是A上的等价关系,对不是的提供反例证明。

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• 半径为R₁和R₂（R₁R₂)的两无限长同轴圆柱面，单位长度分别带有电量λ和-λ，试求：（1)r＜R₁;（2)R₁＜r＜R₂;（3)r＞R₂处各点的场强。

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• 设幂级数的收敛半径为R,而的收敛半径为R,若把幂级数的收敛半径记为R,证明:（1);（2)当R₁≠R<sub>

  设幂级数<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-14/976788824298225.png' />的收敛半径为R,而<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-14/976788837697991.png' />的收敛半径为R,若把幂级数<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-14/976788854253938.png' />的收敛半径记为R,证明: (1)<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-14/976788868991781.png' />; (2)当R₁≠R₂时,<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-14/976788887921864.png' />.

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• 在图8-2-2所示盘形回转件上有4个偏置质量，已知m₁=10kg,m₂=14kg,m₃=16kg，m₄=10kg,r₁=50mm,r₂=100mm,r₃=75mm,r₄=50mm，设所有不平衡质量分布在同一回转面内，问应在什么方位、加多大的平衡质径积才能达到平衡？

  <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-25/980415858204067.png' />

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  设函数f(z)在|z| <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-06/965552417984214.png' /> 试证:M(r)在区间[0,R)上是一个上升函数,且若存在r₁及r₂(0≤r₁,r₂≤R)使得M(r₁)=M(r₂),则f(z)=常数.

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• 如题2-21图所示，两个带有等量异号电荷的无限长同轴圆柱面，半径分别为R₁和R₂＞R₁)，单长度上的电荷为λ。求离轴线为r处的电场强度：(1)r＜ R₁，(2)R₁＜ r＜ R₂，(3)r＞R₂。

  <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-19/974672657164018.png' />

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• 设η₁，η₂，···，η_n-r+1是非齐次线性方程组Ax=β的n-r+1个线性无关的解，R（A)=r。证明：Ax

  设η₁，η₂，···，η_n-r+1是非齐次线性方程组Ax=β的n-r+1个线性无关的解，R(A)=r。证明：Ax=β的任一解均可表示为x=k₁η₁+k₂η₂+···+k_n-r₊₁η_n-r+1，其中常数k₁，k₂，···，k_n-r+1满足k₁+k₂+···+k_n-r+1=1。

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• 设R₁和R₂是集合A上的等价关系，则对于集合A的划分,A/R₁是A/R₂的加细划分当且仅当<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-07-29/964879345380203.png' />。

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• 设t₁,t₂,...，t_r是不同的数，又r≤n.求向量组的秩。

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• 设向量组 的秩为r₁，向量组 的秩为r₂，向量组的秩为r₃，试证：

  设向量组<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-19/974634951593063.png' /><img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-19/974634969414082.png' />的秩为r₁，向量组 的秩为r₂，向量组<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-19/974634951593063.png' /><img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-19/974634969414082.png' /> 的秩为r₃，试证： <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-19/974635084041638.png' />

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• （a)假设在图11-51（b)中，Z₁（s)和Z₂（s)都是两个纯电阻，比如R₁和R₂。R₂/R<sub>1⌘

  (a)假设在图11-51(b)中，Z₁(s)和Z₂(s)都是两个纯电阻，比如R₁和R₂。R₂/R₁的典型值在1~10³的范围内，而K的典型值是10⁶。利用习题11.50(a)的结果，对这个K值，并在R₂/R₁=1，然后等于10³时，计算出真正的系统函数，并将所得出的每一个值与(-R₂/R₁)相比较。 <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-09-18/969276152656201.jpg' /> (b)反馈的重要应用之一在于降低系统对参数变化的灵敏度，这一点对于涉及运算放大器的电路显得特别重要，因为放大器的高增益值只是近似知道的。 (i)考虑在(a)中讨论的电路，若R₂/R₁=10²，如果K从10⁶变到5x10⁵，问该系统的闭环增益变化的百分比是多少？ (ii)为了使K的值减小50%时只引起闭环增益减小1%，问K值必须要多大？再次取R₂/R₁=10²。

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• 设向量组A:a₁,a₂;B:a₁,a₂,a₃;C:a₁,a₂,a₄的秩为R_A=R<sub>B⌘

  设向量组A:a₁,a₂;B:a₁,a₂,a₃;C:a₁,a₂,a₄的秩为R_A=R_B=2,R_c= 3,求向量组D:a₁,a₂.2a₃- 3a₄的秩.

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• 设a∈Rⁿ,a=（a₁,a₂,...,a_n)^T≠0 求证: 是正交矩阵。

  设a∈Rⁿ,a=(a₁,a₂,...,a_n)^T≠0 求证: <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-16/966461113345045.png' /> 是正交矩阵。

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• 设电路如图题9.3.2所示，管子在输入信号v_i作用下，在一周期内T₁和T₂轮流导电约180欧，电源电压V_CC=20V，负载R_L=8，试计算：

  (1)在输入信号V_i=10V(有效值)时，电路的输出功率，管耗、直流电源供给的功率和效率; (2)当输入信号v_i幅值为V_im=V_CC=20V时，电路的输出功率，管耗，直流电源供给的功率和效率。 <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-02/975772604169722.png' />

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• 设ξ₁，ξ₂，ξ₃是R³的一组基，已知证明α₁，α₂，α₃是R³的一组基，

  设ξ₁，ξ₂，ξ₃是R³的一组基，已知<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-10-23/972301330558548.png' />证明α₁，α₂，α₃是R³的一组基，并求出向量β=6ξ₁-ξ₂-ξ₃在基α₁，α₂，α₃下的坐标。

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• 设R₁和R₂是A上的关系，证明下列各式：

  <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-29/980786966956156.png' />

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• 设A={a,b,c},试给出,A上两个不同的关系R₁和R₂，使得<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-06/978776083803018.png' />

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• 在习题4.12图所示电路中,已知:ε₁=6V,ε₂=4.5V,ε₃=2.5V,R₁=R₂=0.52,R₃=2.50,忽略电源内阻,求通过电阻R₁,R₂和R₃的电流.

  <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-09-01/967816497405726.png' />

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• 设向量组B：b₁，b₂，…，b_r能由向量组A：a₁，a₂，…a_r线性表示为（b₁，b<sub>2⌘

  设向量组B：b₁，b₂，…，b_r能由向量组A：a₁，a₂，…a_r线性表示为(b₁，b₂，…，b_r)=(a₁，a₂，…，a_r)K，其中K为s×r矩阵，且A组线性无关。证明B组线性无关的充要条件是矩阵K的秩R(K)=r。

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• 设R、Z、N分别表示实数、整数和自然数集，下面定义函数f₁、f₂、f₃、f₄，试确定它们的性质。

  <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-22/980175047933341.png' /> <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-22/980175058775961.png' />

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• 设R₁和R₂是集合A=（a,b,c,d)上的关系，这里

  设R₁和R₂是集合A=(a,b,c,d)上的关系，这里 <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-29/980786433537646.png' />

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• 设g₁（x),g₂（x)，r₁（x),r₂（x)ЄP[x]，而且g₁（x)≠0，g₂（x)≠0.1)试问何时存

  设g₁(x),g₂(x)，r₁(x),r₂(x)ЄP[x]，而且g₁(x)≠0，g₂(x)≠0. 1)试问何时存在f(x)使得f(x)=r₁(x)(modg₁(x),i=1,2. 2)如果f(x),h(x)都满足上述条件，f(x)与h(x)有何关系？ 3)如果有f(x)满足上述条件，什么情况唯一？

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• 设f（x)，g₁（x)，g₂（x)∈C[x]，证明：R（f，g₁g₂)=R（f，g₁)R（f，g₂)。

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• 设向量组α₁，α₂，…，α_s的秩为r（r＜s)，则（)。

  A．A.α₁，α₂，…，α_s中任意r个向量线性无关 B．B.α₁，α₂，…，α_s中任意r-1个向量线性无关 C．C.α₁，α₂，…，α_s中任一向量可由其他r个向量线性表示 D．D.α₁，α₂，…，α_s中任意r+1个向量线性相关

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• 若幂级数的收敛半径分别是R₁和R₂，则R₁和R₂的大小关系是（)。

  若幂级数<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-10/965908113007065.png' />的收敛半径分别是R₁和R₂，则R₁和R₂的大小关系是()。

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