证明:若当x—＞x0时，a（x)~β（x)的充要条件是

若函数f（x)在[a,b]内具有二阶导数,且f（x1)=f（x2)=f（x3),其中a＜x1＜x2＜x3＜b.证明:在（x¿762¿,x3)内至少有一点ξ,使得f"（ξ)=0.

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若在点x0的邻域内有g（x)≤f（x)≤h（x)，并且g（x)和h（x)在x0的极限存在并且都等于A，证明A

若在点x0的邻域内有g(x)≤f(x)≤h(x)，并且g(x)和h(x)在x0的极限存在并且都等于A，证明<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-21/980071943483278.png' />A

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证明：的充要条件是|f（x)-A|=o（1)（x→x0).

证明：<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-18/979827938633997.png' />的充要条件是|f(x)-A|=o(1)(x→x0).

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证明：若收敛，那么当x＞x0时也收敛。

证明：若<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-25/980434126675964.png' />收敛，那么当x＞x0时<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-25/980434163126049.png' />也收敛。

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设f（x)在[a，b]上连续，在（a，b)内连续可导，x0∈（a，b)是f（x)的唯一驻点。若f（x0)是极小值，证明：x∈（a，x0)时，f'（x)＜0;x∈（x0，b)时，f'（x)＞0。

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设f（x)∈C[a，b]，在（a，b)内二阶可导，且f（a)=f（b)=0，f'+（a)＞0，证明：存在ξ∈（a，b)，使得f"（ξ)＜ 0。

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给定函数f（x),对任意x，f'（x)存在，且0＜m≤f（x)≤M，证明对0＜λ＜2/M的任意常数λ，迭代过程Xk+1=Xk-λf（xk)均收敛于f（xk)=0的根。

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证明:若函数f（x)在开区间I是下凸,则存在于f´-（x0)与f´+（x0),且f´-（x0)≤f´+（x0).

证明:若函数f(x)在开区间I是下凸,则<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-11/973977682582121.png' />存在于f´-(x0)与f´+(x0),且f´-(x0)≤f´+(x0).

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设函数f（x)在[0，1]上连续，且f（0)= f（1)，证明一定存在x∈（0,)使得f（x0)= f（x0+).

设函数f(x)在[0，1]上连续，且f(0)= f(1)，证明一定存在x∈(0,<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-20/977320815878019.png' />)使得f(x0)= f(x0+<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-20/977320902712985.png' />).

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对数列{xn}，若x2k→a（k→∞),x2k+1→a（k→∞)，证明: xn→a（n→∞)

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设f（x)∈C[a，b]，且f"（x)＞0，取xi∈[a，b]（1≤i≤n)，设ki＞0（1≤i≤n)且。证明：

设f(x)∈C[a，b]，且f"(x)＞0，取xi∈[a，b](1≤i≤n)，设ki＞0(1≤i≤n)且<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-04/975950635482167.jpg' />。证明：<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-04/975950645106717.jpg' />

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设a1,a2,…,an为互不相同的效，F（x)=（x-a1)（x-a2)…（x-an)。证明:任何多

设a1,a2,…,an为互不相同的效，F(x)=(x-a1)(x-a2)…(x-an)。证明:任何多项式f(x)用F(x)除所得的余式为 <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-07-30/964972727738352.png' />

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设f（x)在区间I上连续,并且在I上仅有惟一的极值点x0证明:若x0是f的极大（小)值点,则x0必是f（x)在I上的最大（小)值点.

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设A∈Mn（K)，证明:存在K上的一个次数不超过n2的多项式f（x)，使f（A)=0

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设f（x)在x=x0的邻近有连续的二阶导数,证明

设f(x)在x=x0的邻近有连续的二阶导数,证明 <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-10-28/972750844252307.png' />

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证明：对于一个马氏链...X0，Xn-1，Xn...有H（X0|Xn)≥H（X0|Xn-1)

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证明:如果函数f（x)当x→x0时的极限存在,则函数f（x)在x0的某个去心邻城内有界.

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证明连续函数的局部有界性：若函数f（x)在点x0处连续，则函数在点x0的某邻域内有界。

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设函数p（x)和q（x)在闭区间[a,b]上连续.证明解的唯一性定理:微分方程y"+p（x)y'+q（x)y=0（a≤x≤b)满足初始条件y（a)=y0,y'（a)=y'[其中y0,y'是常数]的解是唯一的.

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设函数f（x)在[a,b]上连续,a≤x1＜x2＜...＜xn≤b,证明在[a,b]中必有ξ,使得

设函数f(x)在[a,b]上连续,a≤x1＜x2＜...＜xn≤b,证明在[a,b]中必有ξ,使得 <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-12-15/976895957488208.png' />

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若连续函数列{φ0(x)，φ1(x)，…}在[a，b]上带权ρ(x)正交，且<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-07-31/965040632752842.png' />内恒正，证明:,对任意n个数<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-07-31/965040650416852.png' />，广义多项式<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-07-31/965040667564833.png' />在[a，b]上至少有一个零点。

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设f为U°（x0)上的递增函数.证明:f（x0-0)和f（x0+0)都存在,且

设f为U°(x0)上的递增函数.证明:f(x0-0)和f(x0+0)都存在,且 <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-27/975349982347749.png' />

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设函数f在[0,2a]上连续,且f（0)=f（2a)证明:存在点x0∈[0,a],使得f（x0)=f（x0+a)

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设周期函数f(x)的周期为2π.证明: (1)如果f(x-π)=-f(x),则f(x)的傅里叶系数a0=0,a2k=0,b2k=0(k=1,2,…); (2)如果f(x-n)=f(x),则f(x)的傅里叶系数a2k+1=0,b2k+1=0(k=0,1,2,…).

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证明:若当x—＞x<sub>0</sub>时，a（x)~β（x)的充要条件是

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