（两个空间的积空间不为空间的例子.)（1) 证明实数的下限拓扑空间为空间.（2) 记<sub>⌘

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• 构造实数空间R的一个商空间,使得它不是T₀空间,不是正则空间,也不是正规空间（因此不满足所有的分离性公理)（提示:综合例 6. 5.1和例 3. 3.1中用到的技巧.)

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• 定义使得对于任何,证明:（1)P₁,P₂都是R²的度量.（2)度量空间 （p的定义见例 2.1.2)

  定义<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-11/965993861879538.png' />使得对于任何<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-11/965993879830565.png' />, <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-11/965993901400798.png' /> 证明: (1)P₁,P₂都是R²的度量. (2)度量空间 (p的定义见例 2.1.2)有着完全相同的开集(意即一集合对于某一度量而言是开集,则对于另一度量而育也是开集). (3)设f:R²→R为一映射,若f对于R²的度量ρ,P₁,P₂之一而言为连续映射,则f对于R²的度量ρ,P₁,P₂之另一而言也是连续映射.

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• 设V是一个线性空间，f₁，f₂，...，f_s是V*中非零向量，试证，存在α∈V，使

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• 在同时存在电场和磁场的空间区域中，某点P的电场强度为E，磁感应强度为B，此空间区域介质的介电常数ε≈ε_D，磁导率μ≈μ_D。求P点处电场和强场的总能量体密度w。

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• 证明拓扑空间X为紧致空间当且仅当X的每一开覆盖都有一个有限（可数)开覆盖的加细.

  证明拓扑空间X为紧致空间_{<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-10/965935556629751.png' />}当且仅当X的每一开覆盖_{<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-10/965935582753245.png' />}都有一个有限(可数)开覆盖_{<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-10/965935613112982.png' />}的加细.

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• 已知配离子[Zn(NH₃)₄]²⁺的磁矩为零，则其空间构型和成键时中心原子提供的杂化轨道分别为( )。

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• CHCl₃分子的空间构型是( )。

  A．正四面体 B．四边形 C．三角锥形 D．四面体

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• 光波干涉场中的空间相干性由______产生的，时间相干性是由______产生的；在杨氏干涉实验中，用位于光轴上的单色光源S照射中心距相距为d的两个小孔S₁和S₂，在干涉场的______处，满足空间相干性和时间相干性；若将S改成白光点源，则干涉场满足______相干性；若将S改为横向扩展的单色线光源，则在干涉场的任意处满足______相干性，此时干涉场同时满足空间相干性和时间相干性的条件是______。

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• 证明若积空间X₁xX₂为连通空间,则坐标空间X₁,X₂都是连通空间.

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• 设3维线性空间V₃的线性变换T在基 下的矩阵为（1)求T在基 下的矩阵;（2)求T的像空间及维数;（3

  设3维线性空间V₃的线性变换T在基<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-19/974650718788894.png' />下的矩阵为 <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-19/97465074597645.png' /> (1)求T在基<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-11-19/974650760560284.png' />下的矩阵; (2)求T的像空间及维数; (3)求T的核及维数。

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• BF₃分子的空间构型是（)

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• NCl₃分子的空间构型是( )。

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• 在空间右手直角坐标系中，两个非零向量α，β的坐标分别为（a₁，a₂，0)，（b₁，b₂，0)。（1

  在空间右手直角坐标系<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-10-27/972644495940704.png' />中，两个非零向量α，β的坐标分别为(a₁，a₂，0)，(b₁，b₂，0)。 (1)求以a，β为邻边的平行四边形的面积，并且把结果用一个行列式表示; (2)求以a，β为两边的三角形的面积，并且把结果用一个行列式表示。

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• 阴离子BH₄^-的空间构型为（)。

  A．A.三角锥形 B．B.正四面体 C．C.平面正方形 D．D.四边形

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• NO₃^-的空间构型为（)，中心原子采取（)杂化;PCl₄分子的空间构型为（)，中心原子采取（)杂化。

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• 证明§3.1习题第9题中定义的拓扑空间是两个实数下限拓扑空间R,（参见例 2. 6.1)的积空间.

  证明§3.1习题第9题中定义的拓扑空间_{<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-11/966016058184094.png' />}是两个实数下限拓扑空间R,(参见例 2. 6.1)的积空间.

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• 设V₁,V₂为欧几里得空间V的两个子空间,x,y∈V.线性流形L₁=x+V₁,L₂=y+V₂之间的距离定义为

  <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-03/96531758721777.png' /> 证明:d(L₁,L₂)=d(x-y,V₁+V₂).

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• 设{x_n}是内积空间X中点列,若||x_n||→||x||（n→∞),且对→切y∈X有证明

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• 在R4中，求由向量a₁,a₂,a₃,a₄生成的线性子空间的维数和一组基

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• 若T₁空间X有一个仅含有限个成员的基,则X为仅有有限个点的离散空间.

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• 设Y₁,Y₂为向量空间V的两个线性流形，下列集合是否构成V的线性流形？

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