证明拓扑空间X为紧致空间当且仅当X的每一开覆盖都有一个有限（可数)开覆盖的加细.

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  定义<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-11/965993861879538.png' />使得对于任何<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-11/965993879830565.png' />, <img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-11/965993901400798.png' /> 证明: (1)P₁,P₂都是R²的度量. (2)度量空间 (p的定义见例 2.1.2)有着完全相同的开集(意即一集合对于某一度量而言是开集,则对于另一度量而育也是开集). (3)设f:R²→R为一映射,若f对于R²的度量ρ,P₁,P₂之一而言为连续映射,则f对于R²的度量ρ,P₁,P₂之另一而言也是连续映射.

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• 证明:独异点元素可逆当且仅当它是幺元的因子（若代数结构中的元素s=s₁*s₂,则称s1,s<sub>2⌘

  证明:独异点元素可逆当且仅当它是幺元的因子(若代数结构<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-04/978612143224146.png' />中的元素s=s₁*s₂,则称s1,s₂为s的因子).

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• （两个空间的积空间不为空间的例子.)（1) 证明实数的下限拓扑空间为空间.（2) 记<sub>⌘

  (两个<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-12/96609533815185.png' />空间的积空间不为_{<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-12/966095360498128.png' />}空间的例子.) (1) 证明实数的下限拓扑空间_{<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-12/966095408760889.png' />}为_{<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-12/966095438421585.png' />}空间. (2) 记_{<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-12/966095462143942.png' />}为两实数下限拓扑空间的积空间,证明<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-12/966095492512679.png' />不为<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-12/966095505947448.png' />空间.

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  设V是复数域上的n维线性空间，<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-07/978868267578788.png' />是V的线性变换，且<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-07/978868294125306.png' />证明： 1)如果λ₀是<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-07/978868310424238.png' />的一特征值，那么<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-07/978868327402209.png' />的不变子空间; 2)<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-01-07/978868267578788.png' />至少有一个公共的特征向量。

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  证明§3.1习题第9题中定义的拓扑空间_{<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2020-08-11/966016058184094.png' />}是两个实数下限拓扑空间R,(参见例 2. 6.1)的积空间.

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