证明:(1)(a×b)<sup>2</sup>≤a<sup>2</sup>·b<sup>2</sup>,并说明在什么情况下等号成立;(2)如果a+b+c=0,那么a×b=b×c=c×a,并说明它的几何意义;(3)如果a×b=c×d,a×c=b×d,那么a-d与b-c共线;(4)如果a=p×n,b=q×n,c=r×n,那么a,b,c共面.
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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内有二阶连续导数,1、写出f(x)在(a+b)/2处的一阶泰勒公式;2、证明至少存在一点ζ∈(a,b),使得:f(b)-2f(a+b/2)+f(a)=(b-a)<sup>2</sup>f"(ζ)
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设方阵A满足A<sup>2</sup>-3A+2E=0,证明A的特征值只能取1或2。
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设a,b为常矢,r=xi+yj+zk,r=|r|,证明(1)∇(r•a)=a;(2)∇•(ra)=(r•a)/r;(3)∇x(ra)=(rxa)/r;(4)∇x[(r•a)b]=axb;(5)∇(axr|<sup>2</sup>)=2[(a•a)r-(a•r)a]。
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设f:A→B,若存在R:B→A,伙得f·g=1,且β°f=1A,试证明: f是双射且f<sup>-1</sup>=g。
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证明:若函数f(x)在[a,b]可积,则函数[f(x)]<sup>2</sup>在[a,b]也可积.
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证明:(1)(a×b)<sup>2</sup>+(a·b)2=a<sup>2</sup>b<sup>2</sup>;(2)(a+b)·[(b+c)×(c+a)]=2a·(b×c).
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设A.B是同阶可逆方阵,且A<sup>-1</sup>+B<sup>-1</sup>是可逆矩阵,证明A+B是可逆矩阵,并求(A+B)<sup>-1</sup>.
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证明对合矩阵A(A<sup>2</sup>=I)的特征值只能是1或-1
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设A,B为同阶矩阵,且满足A=1/2(B+E)。求证:A<sup>2</sup>=A的充分必要条件是B<sup>2</sup>=A.
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设A、B均为n阶方阵,且A=(B+E)/2,证明:A<sup>2</sup>=A当且仅当B<sup>2</sup>=E。
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如果A=(a,b)和B=(c),试确定下列集合: (a)A×(0,1)×B (b)B<sup>2</sup>×A (e)(A×B)<sup>2</sup>
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设有n阶矩阵A与B,证明(A+B)(A-B)=A<sup>2</sup>-B<sup>2</sup>的充要条件是AB=BA.
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证明下列不等式:(1)larctana-arctanbI≤|a–b|;(2)当x>1时,e<sup>x</sup>>e.x
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证明:如果A是一个实反称矩阵,则B=(E-A)(E+A)<sup>-1</sup>是一个正交矩阵
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设A可逆,且A~B,证明:B也可逆,且A<sup>-1</sup>~B<sup>-1</sup>
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改T为Hilbert空间X上正常算子,T=A+iB为T的笛卡尔分解,证明:(1)||T||<sup>2</sup>=||A<sup>2</sup>+B<sup>2</sup>||;(2)||T<sup>2</sup>||=||T||<sup>2</sup>.
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设ƒ(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,证明至少存在一点ξ∈(a,b),使2ξ[ƒ(a)-ƒ(b)]=(a<sup>2</sup>-b<sup>2</sup>)ƒ'(ξ).
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(1)a,b不全为零且互素,说出gcd(a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>,a+b),并说明理由.(2)证明:如果k是正整数,那么3k+2和5k+3互素.
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已知|a|=1,|b|=5,a·b=3,试求:(1)|a×b|;(2)[(a+b)×(a-b)]<sup>2</sup>;(3)[(a-2b)×(b-2a)]<sup>2</sup>.
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已知n阶方阵A、B可交换,即AB-BA,证明(1)(A+B)<sup>2</sup>=A<sup>2</sup>+2AB+B<sup>2</sup>;(2)(A+B)(A-B)=A<sup>2</sup>-B<sup>2</sup>;(3)(AB)-A<sup>2</sup>B<sup>2</sup>(A为正整数)。
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设X为取值于(a,b)的连续型随机变量。证明:(1)a≤E(X)≤b;(2)D(X)≤(b-a)<sup>2</sup>/4。
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己知其中B是r×r可逆矩阵.C是s×s可逆矩阵。证明A可逆.并求A<sup>-1</sup>
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若环R适合:a∈R,a<sup>2</sup>=a,证明:(1)a∈R,a+a=0 (2)R是交换环
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设A,B均为n阶方阵,且满足A<sup>2</sup>=A,B<sup>2</sup>=B,(A+B)<sup>2</sup>=A+B。证明AB=O。
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