证明:数列{2-(-1)<sup>n</sup>}发散(只需证明都不是数列{2-(-1)<sup>n</sup>}的极限)
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证明由n个元素组成的集合T={a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,...,a<sub>n</sub>}有2<sup>n</sup>个子集.
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证明:I<sub>n</sub>=∫sec<sup>n</sup>xdx=sec<sup>n-2</sup>x·tanx/n-1+(n-2)/(n-1)I<sub>n-2</sub>(n=2,3...)
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设n阶方阵A满足A<sup>2</sup>+4A+4E=0,证明: A的特征值仅为-2.
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设A、B均为n阶方阵,且A=(B+E)/2,证明:A<sup>2</sup>=A当且仅当B<sup>2</sup>=E。
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设A是n阶(n≥2)可逆矩阵,A<sup>n</sup>是A的伴随矩阵,证明:
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设3n+1个球中恰好有n个相同,证明:从这3n+1个球中选n个球的方案数是2<sup>2n</sup>。
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设有n阶矩阵A与B,证明(A+B)(A-B)=A<sup>2</sup>-B<sup>2</sup>的充要条件是AB=BA.
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设A是数域K上的n级矩阵,P是K上n级可逆矩阵。令B=P<sup>-1</sup>AP-PAP<sup>-1</sup>。证明:B的特征多项式的复根之和等于0。
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证明:若逆命题是否成立?研究数列{(-1)<sup>n</sup>}.
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设P(x)是n次多项式函数.证明:1)若P(a),P’(a)...P<sup>(n)</sup>(a)都是正数,则P(x)在(a,+∞)无零点;2)若P(a),P’(a)...P<sup>(n)</sup>(a)正负号相间,则P(x)在(-∞,a)无零点.
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证明:(1)(a×b)<sup>2</sup>≤a<sup>2</sup>·b<sup>2</sup>,并说明在什么情况下等号成立;(2)如果a+b+c=0,那么a×b=b×c=c×a,并说明它的几何意义;(3)如果a×b=c×d,a×c=b×d,那么a-d与b-c共线;(4)如果a=p×n,b=q×n,c=r×n,那么a,b,c共面.
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证明:如果(x-1)|f(x<sup>n</sup>),那么(x<sup>n</sup>-1)|f(x<sup>n</sup>)。
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从正态分布N(θ,2<sup>2</sup>)中随机抽取容量为100的样本,又设θ的先验分布为正态分布,证明:不管先验分布的标准差为多少,后验分布的标准差一定小于1/5.
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设A为n维单位球面S<sup>n</sup>的可数子集,证明S<sup>n</sup>~ A是S<sup>n</sup>的连通子集(n≥2).
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设A是数域K上的n级矩阵。证明:如果|A|≠0,那么A的列向量组a<sub>1</sub>,a<sub>2</sub>,...,a<sub>n</sub>是K<sup>n</sup>(由列向量组成)的一个基:A的行向量组γ<sub>1</sub>,γ<sub>2</sub>,...,γ<sub>n</sub>是K<sup>n</sup>(由行向量组成)的一个基。
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令A*是n阶矩阵A的伴随矩阵,证明detA*=(detA)<sup>n-1</sup>。
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已知n阶方阵A、B可交换,即AB-BA,证明(1)(A+B)<sup>2</sup>=A<sup>2</sup>+2AB+B<sup>2</sup>;(2)(A+B)(A-B)=A<sup>2</sup>-B<sup>2</sup>;(3)(AB)-A<sup>2</sup>B<sup>2</sup>(A为正整数)。
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截面积为5.0c㎡的股骨。求:(1)在拉力作用下骨折将发生时所具有的张力是多少?(骨的抗张强度为12x10<sup>7</sup>Pa)(2)在4.5x10<sup>4</sup>N的压力作用下它的应变是多少?(骨的压缩弹性模量为9x10<sup>9</sup>Pa)
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设A为n阶方阵,存在某个正整数k>1,使A<sup>k</sup>=0(A称为幂零矩阵),证明: E-A可逆,且其逆为E+A+A<sup>2+</sup>…+ A<sup>k-1</sup>.
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