方阵A可逆的充要条件是

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• 设A.B是同阶可逆方阵,且A^-1+B^-1是可逆矩阵,证明A+B是可逆矩阵,并求（A+B)^-1.

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• 证明:A是π阶方阵,对于任意有x^TAx=0的充分必要条件是A是反对称矩阵.

  证明:A是π阶方阵,对于任意<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-03-04/983705238463764.png' />有x^TAx=0的充分必要条件是A是反对称矩阵.

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• 设方阵A满足A3+A-3E=O，证明A-E与A+2E均可逆，并求（A-E)-1。

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• 如果矩阵A可通过初等变换得到矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记为A~B。若方阵A~B,则方阵A与B有相同的可逆性。

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• （1)A,B是n阶方阵,且A是实时称矩阵.证明A相似于B的充分必要条件是A,B相似于同一个对角矩阵A;（2

  (1)A,B是n阶方阵,且A是实时称矩阵.证明A相似于B的充分必要条件是A,B相似于同一个对角矩阵A; (2)设<img src='https://img2.soutiyun.com/ask/2021-03-05/983805400639972.png' />问A,B是否相似.说明理由.

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• 设A，B是不可逆的同阶方阵，则|A|=|B|

  此题为判断题(对，错)。

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• 若A是可逆方阵，k∈N，则A^k也可逆，且

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• 对于方阵A,A可逆的充要条件为|A|≠0。（)

  是 否

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• 设A为n阶方阵，存在某个正整数k＞1,使A^k=0（A称为幂零矩阵)，证明: E-A可逆，且其逆为E+A+A²⁺…+ A^k-1.

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• 2、若对可逆方阵A实施一系列的行初等变换化为单位矩阵E的同时, 对单位矩阵E实施与之完全相同的行初等变换，则单位矩阵E必可化为A的逆方阵.

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• 20、若方阵A可逆，则非齐次线性方程组Ax=b必定有惟一解.

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• 3、若对可逆方阵A实施一系列的列初等变换化为单位矩阵E的同时, 对单位矩阵E实施与之完全相同的列初等变换，则单位矩阵E也必可化为A的逆方阵.

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