若n阶方阵满足A<sup>2</sup>=A,则称A为幂等矩阵,试证,幂等矩阵的特征值只可能是1或者是零。
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设n阶矩阵A满足A²=A,则(E-2A)<sup>-1</sup>可逆且(E-2A)<sup>-1</sup>=E-2A。()
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设n阶矩阵A满足A<sup>2</sup>-A-2E= 0,则必有()
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设方阵A满足A<sup>2</sup>-3A+2E=0,证明A的特征值只能取1或2。
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设方阵A满足A<sup>3</sup>-2A<sup>2</sup>+3A-E=O。证明:A-2E可逆,并求它的逆矩阵。
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设n阶方阵A满足A<sup>2</sup>+4A+4E=0,证明: A的特征值仅为-2.
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设n阶矩阵A,B,C和D满足ABCD=E,则(CB)<sup>-1</sup>=()。
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设A.B是同阶可逆方阵,且A<sup>-1</sup>+B<sup>-1</sup>是可逆矩阵,证明A+B是可逆矩阵,并求(A+B)<sup>-1</sup>.
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设A,B为同阶矩阵,且满足A=1/2(B+E)。求证:A<sup>2</sup>=A的充分必要条件是B<sup>2</sup>=A.
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设A、B均为n阶方阵,且A=(B+E)/2,证明:A<sup>2</sup>=A当且仅当B<sup>2</sup>=E。
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设A是n阶(n≥2)可逆矩阵,A<sup>n</sup>是A的伴随矩阵,证明:
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设A为n阶方阵,|A|≠0,A<sup>-1</sup>为A的伴随矩阵,若A有特征值,求(A')2+E的一个特征值。
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设A为n阶矩阵,满足A<sup>2</sup>=A.试证: r(A)+r(A-I)= n.
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设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,若矩阵A可逆,证明A*也可逆,并求(A*)<sup>-1</sup>。
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设有n阶矩阵A与B,证明(A+B)(A-B)=A<sup>2</sup>-B<sup>2</sup>的充要条件是AB=BA.
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三阶方阵A的特征值为-2,2,3,B=A<sup>2</sup>-4E,则r(B)=()。
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令S是数域F上一切满足条件A<sup>T</sup>=A的n阶矩阵A所成的向量空间,求S的维数。
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设A为n阶方阵,若R(A)=n-2则AX=0的基础解系所含向量个数是()。
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若A,B为n阶方阵且(AB)∧2=E,则下面不正确的是
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若n阶矩阵A满足A<sup>2</sup>- 2A-4I= O,试证A+I可逆,并求(A+ I)<sup>-1</sup>.
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若n阶矩阵A≠O,但A<sup>k</sup>=O(k为正整数),证明:A不相似于对角矩阵。
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已知n阶方阵A、B可交换,即AB-BA,证明(1)(A+B)<sup>2</sup>=A<sup>2</sup>+2AB+B<sup>2</sup>;(2)(A+B)(A-B)=A<sup>2</sup>-B<sup>2</sup>;(3)(AB)-A<sup>2</sup>B<sup>2</sup>(A为正整数)。
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若A是可逆方阵,k∈N,则A<sup>k</sup>也可逆,且
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设A为n阶方阵,存在某个正整数k>1,使A<sup>k</sup>=0(A称为幂零矩阵),证明: E-A可逆,且其逆为E+A+A<sup>2+</sup>…+ A<sup>k-1</sup>.
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设A,B均为n阶方阵,且满足A<sup>2</sup>=A,B<sup>2</sup>=B,(A+B)<sup>2</sup>=A+B。证明AB=O。
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